[선형대수] 3-2. 역행렬과 선형시스템의 해

역행렬

역행렬이란, 스칼라 값에서 곱셈에 대한 역원과 유사한 개념으로, 선형방정식의 풀이에서 중요한 역할을 한다.

 

행렬 A, B가 있고 모두 n x n행렬일 때, AB = BA = I인 행렬 B가 존재하면, A를 가역적(invertible)이라고 한다. 

이 경우의 B는 A의 역행렬(inverse matrix)라고 하고, A^-1로 나타내는데, AA^-1=A^-1A=I가 항상 성립한다.

가역적인 행렬, 즉 역행렬이 존재하는 행렬을 정칙행렬(nonsingular matrix)라고하고. 그렇지 않은 행렬을 특이행렬(singular matrix)라고 한다.

 

역행렬의 성질)

• (A^-1)^-1 = A
• (AB)^-1=B^-1A^-1

 

역행렬을 구하는 방법

역행렬을 구하는 방법은 3가지가 있다:

1. 한 행렬을 변수로 놓고 곱을 구해서 항등행렬이 되도록 하는 방법
2. 가우스-조단
3. 수반행렬을 이용하여 구하기

 

한 행렬을 변수로 놓고 곱을 구해서 항등행렬이 되도록 하게 하기

가 있다고 해보자.

 

 

가우스-조단

주어진 행렬 A의 오른쪽에다 추가적으로 첨가하여 만든 행렬을 첨가행렬(augmented matrix)라고 한다.

 

가우스-조단으로 역행렬을 구하는 알고리즘은, 행렬 A에 대해 첨가행렬 [A|I]로 만들고, 

행 연산을 통해서 왼쪽 행렬을 I로 만든다.

그렇게 기본 행 연산이 끝나면, [I | A^-1]이 되어있다.

 

 

 

 

수반행렬에 의한 역행렬

여인수를 행렬에다가 차례로 모아 놓은 것을 여인수 행렬이라고 하는데, 수반행렬은 그 여인수 행렬을 다시 전치행렬로 바꾼 것이다.

A의 여인수를 성분으로 가지는 행렬 B=[A_ij]를 행렬 A의 여인수 행렬이라고 할때,

여인수 행렬B의 전치행렬을 A의 수반행렬(Adjugate matrix)이라고 하고, Adj(A)로 나타낸다.

 

(Adj(A) = A의 소행렬식에 부호를 붙인 여인수들로 행렬을 만들고, 그 행렬의 전치행렬)

 

 

 

A가 nxn행렬일 때, 다음의 2가지가 성립한다.

1. A가 가역적이기 위한 필요충분조건은 Det(A) != 0
2. Det(A) !=0이면 A의 역행렬은 다음과 같다.⭐️

행렬식의 값이 0이 아닐때, 역행렬 = 수반행렬/행렬식

 

2 x 2행렬에 대한 역행렬은 이 정리의 특별한 경우로, Det(A) !=0이면 다음과 같은 방법으로 A의 역행렬을 구하는 것이 편리하다.

 

선형방정식의 해법

선형방정식을 구하는 방법은 4가지가 있다:

• 가우스조던으로 해 구하기
• 역행렬을 이용하기
• 크래머의 규칙
• LU분해

 

가우스조던으로 해 구하기

상수항을 붙여 첨가행렬을 만든 다음, 왼쪽 항을 항등행렬로 만들어주면, 상수항이 해가 된다.

 

역행렬을 이용하여 해 구하기

Ax=b가 n개의 변수에 대한 n개의 방정식으로 이루어진 선형시스템이고, 행렬 A가 가역적이면 선형시스템은 유일한 해 x=A^-1b를 가진다.

 

(Ax=b 양변에 A^-1을 곱하면 x = A^-1b가 나온다)

 

 

크래머의 규칙 이용

만약 A = [a_ij]가 가역적이고

b = [b1, ..., bn]이라면

Ax = b의 해집합은 다음과 같다: 

x = [x1, x2, ..., xn]

x_i = 행렬 A의 i번째 열 대신 상수항 행렬 b가 들어간다.

 

 

 

LU분해법

정방행렬을 하부상각행렬 L과 상부삼각행렬 U의 곱의 형태로 인수분해하여 구하는 방법이다.

즉 Ax = b에서

A = LU로 인수분해하여 중간 해를 구한 후 다시 원래의 해를 구하는데,

이러한 방법을 LU-분해법(LU-decomposition)이라고 한다.

 

LU를 구하는 알고리즘)

1. 주어진 행렬 A에 가우스 소거법을 적용하여 상부삼각행렬 U를 구한다.
2. 단위행렬 I에 연산을 역순하여 L을 구한다.

LU-분해법 알고리즘)

1. 선형시스템 Ax = b를 LUx = b로 분해한다.
2. 새로운 변수 y를 Ux = y로 나타내고 원래의 시스템을 Ly = b로 대체한다.
3. Ly = b를 변수 벡터 y에 대하여 해를 구한다.
4. 벡터 y를 Ux = y에 대입하여 x에 대한 최종 문제를 푼다.

아래 예시를 보면 알 수 있지만, 인수분해과정이 조금 오래 걸릴 뿐, 그 이후로는 매우 빠르고 편리하다.