[선형대수] 5-1. 벡터공간

벡터공간과 선형독립

스칼라를 실수전체로 택할 때, U를 실수 R위의 벡터공간 또는 실벡터공간(real vector space)이라고 한다.

스칼라를 복소수 전체로 택할 때, U를 복소수 C위의 벡터공간 또는 복소벡터공간(complex vector space)이라고 한다.

 

벡터공간과 부분공간

• V가 벡터의 합과 스랄라 곱의 연산이 정의되는 공집합이 아닌 벡터들로 이루어진 집합이고,
• V안의 모든 벡터들이 덧셈에 대해 닫혀있고, 곱셈에 대해 닫혀있고,
• 덧셈의 {교환법칙, 결합법칙, 역원, 영벡터}, 스칼라곱의 {배분, 결합, 항등원}의 법칙이 해당하면

V는 벡터공간(vector space)라고 한다.

이 실수 R 위의 벡터공간인지 확인해보자:

 

모든 벡터가 영벡터인 벡터공간을 영벡터공간(zero vector space)라고 한다.

 

 

 벡터공간 V의 부분집합 W가 아래 조건을 만족하면, W를 V의 부분공간(subspace)라고 한다.

1)

2)

=> W의 벡터들이 덧셈, 곱셈에 닫히면 부분공간이다.

 

W가 R³의 부분집합일때, W가 R³의 부분공간이 될지 알아보자.

W = {u | 

, u₁, u₂는 임의의 실수}

 

부분공간이 될 수 없다. 만약, 상수항 부분이 1이 아닌 0이었다면, 부분공간이 될 수 있었을 것 이다.

 

 

선형독립과 선형종속

벡터공간 V의 원소 v₁, v₂, ...v_n과 스칼라 a₁, a₂, ..., a_n에 대하여 

a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n의 형태로 표현될 때, 

이를 v₁, v₂, ..., v_n의 선형결합(linear combination)이라고 한다.

 

R3의 벡터 v₁, v₂, v₃이 선형결합하는지 알아보자.

 

세 벡터는 선형결합할 수 있다.

 

 

이러한 선형결합 a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n 의 스칼라 값들 중에서 적어도 하나가 0이 아니라고 하면, 선형종속(linearly dependent)이라고 한다.

그렇지 않으면(모든 스칼라 값들이 0이면) 선형독립(linearly independent)이라고 한다.

 

즉, a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n =0에서 상수값이 a₁ = a₂ = ... a_n = 0일때 선형독립, 하나라도 0이 아니라면 선형종속이다.

Rn상의 벡터들의 집합 v₁v, v₂v, ..., v_nv중에서 하나의 벡터가 나머지 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있는 경우, 선형송족이다.

 

 

연습문제)

이 선형독립인지 또는 선형종속인지 알아보자.

세 벡터는 선형독립이다.

 

선형독립과 선형종속의 시각화

선형독립과 선형종속이 감이 잘 안올 수 있는데, 아래 그림을 참고하면 무엇이 선형독립이고, 선형종속인지 이해할 수 있을 것이다.

R2에서는 두 벡터가 하나의 벡터가 될 수 있고, R3에서는 같은 평면상에 있다.

 

선형종속의 경우의 수

영벡터인 경우를 제외하고, 다음과 같다:

• R²
  • 두 벡터가 같은 직선상에 있거나 평행
  • R²공간에서 3개 이상의 벡터가 존재
  • R²공간에서 3개 벡터를 2개 이상의 벡터가 같은 직선상 또는 평행
• R³
  • 3개 벡터 중 어느 하나가 다른 2개의 선형결합이 되는 경우