[선형대수] 4. 벡터

스칼라 값: 물리적 양의 크기를 말한다.(질량, 속력, 압력 등)

벡터: 크기 뿐만 아니라 방향까지 가진다.

 

벡터의 개념과 표기

벡터는 크기 이외에도 방향의 정보를 가지는 물리량이다.

 

1. 화살표를 이용한 벡터 표현

시점(initial point, tail)은 화살표의 시작점을 말한다.

끝점(terminal point, head)는 화살표의 끝점을 말한다.

 

시점 P와 Q가 있을 때, P에서 Q까지 방향을 가진 선분을 유향선분(directed segment)라고 한다.

모든 벡터는 유향선분으로 나타낼 수 있고, 역도 성립한다.

 

유향선분

 

 

두 벡터

와 RS가 똑같은 크기와 방향을 가지면, 두 벡터가 어디에 위치에 있든 서로 동치(equivalent)한다고 한다.

 

두 벡터 u, v는 동치이다.

 

2. 좌표(Coordinate)에 의한 표기법

벡터는 좌표로의 표기도 가능하다.

원점에서 한 좌표상의 위치까지 향하는 벡터를 위치벡터(position vector)라고 한다.

 

3차원 공간을 예로, 원점 (0, 0, 0)에서 좌표상의 위치 (x, y, z)까지 향하는 벡터 u는

u(x, y, z)라고 표기한다.

여기서 x, y, z를 벡터의 성분(component)라고 한다.

 

좌표 표기 방식은 행벡터와 열벡터가 있는데, 아래는 행벡터의 표기와 열벡터의 표기이다:

행벡터와 열벡터

 

 

평면상의 벡터 u, v가 어느 하나를 평행이동하여 완전히 겹칠 때, (두벡터의 크기와 방향이 같을 때)

두 벡터가 같다고 하고, u=v로 나타낼 수 있다.

 

 

벡터의 크기와 기하학적 표현

상의 평면에서 벡터 u=(a,b)의

크기(magnitude) = 길이(length) = 노름(norm)은 

로 나타내며,

피타고라스 정의로 

라고 나타낸다.

 

 

상에서의 벡터

의 노름 

는

 

이다.

 

방향은 x축의 양의 방향으로부터 시계 반대 방향으로 그 벡터까지 이르는 라디안각을 의미한다.

벡터의 방향

 

 

모든 성분이 0인 벡터를 영벡터(zero vector)라고 한다.

아래는 영벡터의 예시와 성질이다.

영벡터의 예시와 성질

 

 

단위벡터와 단위좌표벡터

상에서 크기가 1인 벡터를 단위벡터(Unit Vector)라고 한다.

e로 나타내고 벡터 V와 방향이 같은 단위벡터는 (1/||u||)가 된다(1/노름)

 

단위 좌표 벡터(Unit coordiante vector)는 노름이 1이고, 좌표상의 단위를 강조한 벡터이다.

이는 벡터/벡터의 크기이다.

 

기저벡터(basis vector)는 각 축의 방향으로 분해된 크기가 1인 벡터이다.

ex) R^2상에서는 (1, 0), (0,1), R^3상에서는 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)이다.

 

 

벡터의 연산

벡터의 합과 차

벡터의 합: 벡터의 각 성분들끼리 더한 값이다.

이 벡터의 합은 삼각형의 빗변 또는 평행사변형을 잇는 대각선을 의미한다.

 

 

벡터의 차: 벡터 v-w는 벡터 v에 벡터 w의 덧셈의 역원을 더한 값이다.

 

 

벡터의 스칼라 곱

벡터 u와 스칼라 a의 곱 au를 스칼라 곱(scalar product)이라고 한다.

 

 

벡터의 성질

R^2또는 R^3의 벡터 u, v, w와 영벡터 O에 대한 벡터의 성질들이다:

1. u + v = v + u (덧셈의 교환법칙)
2. u + (v + w)  = (u + v) + w (덧셈의 결합법칙)
3. u + O = u (항등원)
4. u - u = O (역원)
5. a(u+v) = au + av (a는 스칼라, 배분법칙)
6. (a+b)u = au + bu (a,b는 스칼라, 배분법칙)
7. a(bu) = (ab)u (a, b는 스칼라)
8. 1 * u = u (곱셈 항등원)
9. 0 * u = O (영벡터)

 

연습문제

u = (2, -7, 1), v=(-3, 0, 4), w = (0, 5, -8)일때,

2u + 3v - 5w = ?

(2*2+3*(-3)+(-5)*0, 2*(-7)+3*0+(-5)*(5), 2*1+3*4+(-5)*(-8)) = (-5, -39, 54)