[선형대수] 3-1. 행렬식과 여인수

행렬식

행렬식(Determinant)이란 정방행렬 A에서 하나의 스칼라 값을 대응시키는 함수로써, Det(A) 또는 |A|로 표시한다.

n차 정방행렬의 행렬식을 n차 행렬식이라고도 부른다.

 

즉, A를 n x n행렬이라고 할 때 행렬 A에 대해 A의 행렬식이라는 수가 대응된다.

기호로는 행렬 A의 괄호 대신 수직 막대선을 그어서 나타낸다.

 

 

 

행렬식을 구하는 두 가지 방법

사루스의 공식

주 대각선 방향으로 원소들을 곱한 값을을 더한 값에

주 대각선 반대 방향으로 원소들을 곱한 값들의 덧셈의 역원을 더한다고 생각하면 편리하다.

아래는 2*2의 크기와 3*3의 크기의 예시이다.

 

 

여인수에 의한 계산

사루스의 공식을 통해서 나온 3 x 3의 행렬식은 아래와 같이 인수분해될 수 있다:

 

이는 행렬식에서 a11, a12, a13을 기준으로 해당하는 행과 열을 제외하고 연산을 하는 것과 같은 결과를 가져온다.

 

aij를 포함하는 행과 열을 제외한 나머지 행과 열로 이루어진 행렬식 M_ij를 a_ij의 소행렬식(minor)으로 정의한다.

i행과 j열을 제거하여 얻어진 부분행렬의 행렬식이다.

따라서, 다음과 같이 표현될 수 있다.

 

 

Det(A) = a₁₁M₁₁ - a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃

Mij에다가 i+j의 값에 따라서 부호를 넣은 Aij를 여인수라고 하는데,

Aij = (-1)^i+jM_ij이다.

따라서, 

Det(A) = a₁₁A₁₁ - a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃

이 식을 제 1행에 대해 여인수들로 전개되었다라고 말한다.

 

여인수는 소행렬식에다가 부호를 붙인 것인데, i+j가 짝수이면 A_ij = M_ij, 홀수이면 A_ij = -M_ij이다.

3 x 3의 크기에서는 왼쪽, 4 x 4의 크기에서는 오른쪽의 부호를 가진다.

 

 

 

행렬식의 성질들

• n x n의 행렬에서 임의의 두 행 또는 두 열이 같으면 행렬식의 값은 0이다.
• n x n 행렬 A의 임의의 두 행(열)을 서로 바꾸어서 만들어진 행렬을 B라고 하면, Det(B) = -Det(A)이다.
• 행렬 A의 행렬식의 값은 전치행렬의 행렬식의 값과 같다. (Det(A) = Det(AT)
• A와 B의 크기가 같으면 곱의 행렬식은 행렬식의 곱과 같다. (Det(AB) = Det(A) * Det(B))
• 행렬식의 어떤 행(또는 열)의 각 원소에 같은 수 k를 곱하여 얻은 행렬식은 행렬식에 k를 곱한 것과 같다.
• n x n행렬 A의 한 행(열)에 있는 모든 원소가 0이면 Det(A) = 0이다.
• A가 n x n의 삼각행렬인 경우, Det(A)는 주대각선상의 원소들의 곱과 같다. (Det(A) = a11 x a22 x ... x ann)
• 삼각행렬이 가역적이기 위한 필요충분조건은 그 대각선상의 모든 성분들이 0이 아니어야 한다.

 

기본 행 연산을 통한 행렬식의 계산

행렬식의 크기가 커지면, 시간이 많이 걸린다.

따라서, 기본 행 연산을 통해서 행렬식의 성질을 활용하면 더욱 편리하게 행렬식의 값을 구할 수 있다.

1. 한 개의 행(또는 열)에 k배를 한 행렬식은 원래 행렬식의 k배와 같다.
2. 두 개의 행(또는 열)을 교환한 행렬식은 원래 행렬식에서 부호만 바뀐다.
3. 한 개의 행(또는 열)에 k배를 하여 다른 행(또는 열)에 더하여 만든 행렬식은 원래의 행렬식과 같다.

기본 행 연산을 통해서 삼각행렬로 만들어버리면, 행렬식의 값을 빠르게 구할 수 있다!

 

 

연습문제

 

의 행렬식의 값을 구하시오.

풀이: 기본 행 연산과 행렬식의 성질을 이용하여 간편하게 구할 수 있다.