[선형대수] 2-2. 특수한 행렬과 기본 행 연산

특수한 형태의 행렬들과, 기본 행 연산에 대하여 알아보자.

 

특수한 행렬

대각행렬

n x n 정방행렬에서 대각선을 제외한 모든 항들이 0인 행렬 D를 대각행렬(diagonal matrix)라고 한다.

 

대각항과 대각합

정방행렬 A의 주대각선 위의 모든 성분들을 대각항이라고 하고, 각 대각항의 합을 대각합(trace)라고 한다.

tr(A) 또는 trace(A)로 표기한다.

행렬의 행과 열 번호가 같은 성분들의 합이다.

 

 

 

정방행렬 A와 B의 크기가 같을 때, 다음의 특성들을 가진다.

• tr(AT) = tr(A)
• tr(cA) = ctr(A)
• tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
• tr(A-B) = tr(A) - tr(B)
• tr(AB) = tr(BA)

 

 

항등행렬과 영행렬

대각행렬이면서 대각선의 항들이 모두 1인 n x n행렬을 항등행렬(identitiy matrix)또는 단위행렬이라고 한다.

행렬의 크기가 n x n인 항등행렬을 통상 I_n으로 나타낸다.

AI_n = A = I_nA가 성립한다.

I2, I3의 항등행렬

 

성분이 모두 0인 행렬은 영행렬이라고 한다.(a_ij = 0)

간단히 O로 나타낸다.

크기를 강조할 필요가 있으면 O_{m x n}로 표기하기도 한다.

 

를 영행렬이라고 하고, 행렬 A가 이 영행렬과 크기가 같은 임의의 행렬인 경우, 

A + O = O + A = A인 관계가 성립한다.

 

-A는 행렬 (-a_ij)로 정의한다. 실수에서 a_ij - a_ij = 0이 되듯이, 행렬에서도 A + (-A) = 0인 관계가 성립한다.

행렬 -A는 A의 덧셈에 대한 역원 또는 덧셈의 역(additive inverse)라고 부른다.

 

 

 

전치행렬

행렬 A = [a_ij]를 m x n 행렬이라고 할 때, b_ij = a_ij가 되는 n x m 행렬 B = [b_ij]를 A의 전치행렬(transpose matrix)이라고 하고 A^T라고 나타낸다.

전치행렬은 행렬의 행과 열을 서로 바꾼 행렬이다.

 

전치행렬에는 다음의 성질들이 성립한다

• (AT)T = A
• (A+-B)T = AT+-BT
• (cA)T = cAT(c는 상수)
• (AB)T = BTAT

 

대칭행렬과 교대행렬

어떤 정방행렬 n x n 행렬이 자신의 전치행렬과 똑같을 때, 그 행렬을 대칭행렬(symmetric matrix)이라고 한다.

a_ij = a_ij가 성립한다.

 

A = -A^T를 만족하는 n x n 행렬을 교대행렬(skewed-symmetric matrix)라고 한다.

a_ij = -a_ij가 성립한다.

 

아래는 대칭행렬 A와 교대행렬 B이다.

 

 

삼각행렬

주대각선 아래에 있는 모든 항들이 0인 n x n 행렬 A를 상부삼각행렬(upper triangular matrix)라고 하며,

주대각선 위에 있는 모든 항들이 0인 n x n 행렬 B를 하부삼각행렬(lower triangular matrix)라고 한다.

상부삼각행렬과 하부삼각행렬을 통칭하여 삼각행렬이라고 한다.

 

 

 

 

행렬의 기본 연산

기본 행 연산

• 어떤 2개의 행을 서로 바꾼다
• 어떤 행에다 0이 아닌 상수를 곱한다
• 어떤 행에다 상수를 곱한 후 다른 행에다 더한다.

(동치인 선형방정식을 구하는 것과 같음을 알 수 있다!)

 

기본 행 연산을 거친 것을 행 동치(row equivalent)라고 한다.

또한 n x n 항등행렬에서 한 번의 기본 행 연산을 거쳐 만들어지는 n x n 행렬을 기본행렬(elementary matrix)이라고 한다.

행렬의 각 행에서 0이 아닌 가장 처음 나타나는 수를 피벗으로 삼을 수 있다.

 

 

행 사다리꼴

기본 행 연산을 거친 후 3가지 조건을 만족하면 행 사다리꼴(row echelon form, REF)이라고 한다.

1. 0으로만 이루어진 행들은 만약 있는 경우 행렬의 아래쪽에 나타낸다.
2. 모두가 0은 아닌 행의 가장 왼쪽에 가장 처음 나타나는 0이 아닌 수를 피벗으로 삼는다.
3. 모두가 0은 아닌 연이은 두 행이 있으면 아래쪽 행의 피벗은 위쪽 행의 피벗보다 오른쪽에 있다.

행 사다리꼴에다가 다음 조건까지 만족하면 기약 행 사다리꼴(reduced row echelon form, RREF)라고 한다.

• 각 행의 피벗을 포함하는 열(column)에는 피벗 이외의 항들은 모두 0이다.

 

RREF를 구하기 위한 기본 행 연산의 순서는 다음과 같다

• 전향단계(forward phase) : 피벗의 아랫부분이 0이 되도록
• 후향단계(backward phase) : 피벗의 윗부분까지 0이 되도록

전향단계와 후향단계를 가우스-조단 소거법이라고 한다.

선형시스템의 가우스-조단 소거법이 맞다.

 

 

계수

행렬을 행 사다리꼴로 만들었을 때 행 전체가 0이 아닌 행의 개수는 수학적으로 중요한 의미를 가지는데, 이 수를 주어진 행렬의 계수(rank)라고 한다. 이는 피벗의 개수와 같다.

 

 

연습문제

다음 행렬 A를 행 사다리꼴로 바꾸고, 기약 행 사다리꼴로도 바꾸고, 계수를 구하시오.