[선형대수] 5-2. 생성, 기저, 차원

생성

벡터공간 V의 모든 벡터들을 V상의 벡터 v₁+v₂+..+v_n의 선형결합으로 나타낼 수 있을 경우, 벡터 v₁,v₂,...,v_n이 벡터 공간 v를 생성(span)한다고 한다.

즉, 모든 V의 벡터 v에 대하여

a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n = V가 되는 스칼라 a₁, a₂, ..., a_n이 존재한 경우를 말한다.

벡터

가 벡터공간 R²를 생성하는가?

 

 

벡터

가 벡터공간 R³을 생성하는가?

 

 

기저

벡터공간 V에 있는 벡터 v₁,v₂,...,v_n이 다음의 두 가지 조건을 동시에 만족하면, V에 대한 기저(basis)를 형성한다고 말한다.

• v₁,v₂,...,v_n이 선형독립
• v₁,v₂,...,v_n이 V를 생성

 

R²상의 두 벡터 

는 기저가 되는가?

 

 

 

V=R³이라 할 때, R³에 대한 기저 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)을 R³에 대한 표준기저(standard basis)또는 자연기저(natural basis)라고 한다.

 

일반화하면, Rn에 대한 표준기저 e_i는 i번째항만 1이고, 나머지는 0이라 할 수 있다.

 

 

 

다음은 기저에 대한 특이 케이스들이다:

• 선형독립이면서도 벡터공간 생성 안함: 3차원공간에서 벡터가 2개인 경우
• 벡터공간을 생성하면서 선형종속인 경우: 2차원 공간에 3개의벡터

 

차원

V가 Rn상의 벡터공간일 때, V의 기저가 되는 벡터의 개수를 차원(dimension)이라고 하며, dim(V)로 나타낸다.

영벡터들로 이루어진 벡터공간의 차원은 0이고, V가 유한 기저를 가지면 dim(V) = n이다.

 

을 가진 벡터공간 V의 차원은?

세 벡터가 선형종속이고, 첫 번째와 두번째 벡터가 선형독립이다. 따라서 2차원이다.