[선형대수] 6-2. 외적

외적의 정의

u x v = (||u||||v||sinΘ)e인 벡터이다.

Θ는 두 벡터 사이의 각이고, 벡터 e는 오른손 법칙에 따라 방향을 가지는 u와 v에 대해 생성된 평면과 수직인 단위벡터이다.

 

외적은 다양한 물리량에 쓰일 수 있다.(면적, 체적, 운동량, 토크 등)

 

u x v의 크기 ||u x v|| = ||u||||v||sinΘ이다.

이 크기는 u와 v가 이루는 평행사변형의 면적과 같다.

 

 

 

벡터 u = (u₁, u₂, u₃), v = (v₁, v₂,v₃), 또는 두 벡터

u = u₁i + u₂j + u₃k, v = v₁i + v₂j, v₃k가 R³상의 벡터들인 경우, u와 v의 외적 u x v는 다음과 같이 정의된다:

 

 

외적의 성질

R³상의 벡터 u, v, w와 스칼라 a에 대하여 다음과 같은 외적의 성질이 성립한다.

1. u x 0 = 0 x u = 0
2. u x v = -(v x u)
3. (au) x v = a(u x v) = u x (av)
4. u x (v + w) = (u x v) + (u x w)
5. (u x v)·w = u·(v x w) =
6. u · (u x v) = v · (u x v) = 0, 즉 u x v는 u와 v 모두와 직교한다.
7. u x v = 0이때 u와 v는 평행하다.
8. u x u = 0
9. ||u x v||는 u, v에 의해 결정되는 평행사변형의 면적이다.
10. u·(v x w) = (u x v) · w = u, v, w에 의해 결정되는 체적이다.

만약 u와 v가 같은 방향 또는 반대 방향을 가지거나 어느 하나가 영벡터이면

w = u x v = 0이다.

 

 

표준단위벡터 e₁(1,0,0), e₂(0,1,0), e₃(0,0,1)에 대하여 

• e₁ x e₁ = e₂ x e₂ = e₃ x e₃ = 0
• e₁ x e₂ = e₃ = -e₂-e₁
• e₂ x e₃ = e₁ = -e₃-e₂
• e₃ x e₁ = e₂ = -e₁-e₃

이 성립한다.

 

외적을 이용하여 삼각형의 면적 및 평행육면체의 체적 구하기

점 (-1, 2, 0), (-2, 1, 3), (1, 1, -1)로 이루어진 삼각형의 면적을 구해보자.

세 점들을 이용하여 선분을 구할 수 있다.

u = (2,1,3) - (-1, 2, 0) = (3, -1, 3)

v = (1,1,-1) - (-1, 2, 0) = (2, -1, -1)

이 벡터의 외적을 구하면 평행사변형의 면적이 되고, 반으로 나누면 삼각형의 면적이다.

 

 

 

평행육면체의 체적을 구해보자.

벡터(4, 1, 1), (2, 1, 0), (0, 2, 3)이 주어져있다고 해보자.

두 벡터의 외적에다가 다른 한 벡터의 내적을 구하면, 세 벡터로 이루어진 평행육면체의 체적이다.

외적의 성질(5)를 통해서 식이 아래처럼 정리된다.