[친절한 수론 길라잡이] 4장. 고차 제곱수의 합과 페르마의 마지막 정리

우리는 앞장에서 방정식 

이 여러 개의 정수해를 갖는다는 것을 확인하였다. 그렇다면 지수가 2보다 큰 수일 경우에는 어떨까?

 

은 0이 아닌 정수해를 가질 수 있을까?

답은 '아니오'이다.

1673년즈음, 페르마는 지수가 4인 경우를 증명했고, 18세기와 19세기, 가우스와 오일러는 지수가 3인 경우를 증명했고, 디리클레와 르장드르는 지수가 5인 경우를 다루었다.

이는 페르마의 마지막 정리(Fermat's last theorem)으로 알려져 있다.

 

세제곱수를 두 개의 세제곱수로, 네제곱수를 두 개의 네제곱수로 쪼개는 것은 불가능하다. 혹은 일반적으로 n-제곱수를 두 개의 n-제곱수로 나누는 것은 불가능한 일이다. 나는 이에 대해 놀라운 증명을 발견했지만, 이를 남기기에는 여백이 부족하다.

- 페르마

 

페르마의 마지막 정리에 대한 결과 중, 일반화된 결과는 1823년 소피 제르맹(Sophie Germain)에 의해 처음으로 제시되었다.

그녀는 만일 p와 2p+1이 모두 소수인 경우,

는 곱 abc가 p로 나누어지지 않는 정수해 a, b, c가 없다는 것을 증명하였다.

 

19세기 후반 리하르트 데데킨트, 레오폴트 크로네커, 에른스트 쿰머와 같은 여러 수학자들은 '대수적 정수론'이라는 수학의 새로운 분야를 발전시켰다, 페르마의 마지막 정리를 여러 가지 지수에 증명하는 데 그들의 이론을 이용하였다.

 

1909년 비페리히는 비슷한 방향의 결과를 발표하였는데, 만일 p가 소수이고 2^p-2가 p^2에 의해 나누어지지 않는다면 같은 결론을 낼 수 있다는 것이었다.

 

이후 1985년에 이르러 에이들먼, 히스브라운, 푸브리는 강화된 제르맹의 판정법과 고난도의 해석적 근사를 이용하여 소수 p가 abc를 나누지 않을 때

의 정수해가 존재하지 않는 무한히 많은 p가 존재함을 증명하였다.

 

1986년 앤드루 와일스가 모든 유리 계수 반안정 타원곡선이 모듈러 성질을 갖는다는 증명을 발표함으로써 350년간 해결되지 못하던 페르마의 마지막 정리의 증명이 완결되었다.

46장에서 맛보기를 한다고 한다..!

 

수학적 혹은 과학적 발견이 무에서 창조되는 경우는 거의 없다.

탁원한 천재였던 아이작 뉴턴(Issac Newton)은 '내가 더 멀리 볼 수 있는 이유는, 내가 거인의 어깨 위에 서 있기 때문이다.'라고 썼다.

 

미국, 프랑스, 호주, 벨기에, 이스라엘, 독일, 일본, 러시아, 캐나다, 네덜란드 등의 수학자들은 와일스가 빛나는 증명을 할 수 있도록 직접적, 혹은 간접적인 기여를 한 거인들이라 할 수 있다.