[친절한 수론 길라잡이] 2장. 피타고라스 세 수

피타고라스 세 수 (a, b, c)를 만족하는 자연수는 무한히 많은가?

답은 "그렇다"이다.

 

하나의 피타고라스 세 수(a, b, c)가 있다면, 적당한 수 d를 곱해보자.

(da, db, dc)도 피타고라스 수가 된다.

 

원시 피타고라스 세 수(Primitive Ptyhagorean triple, PPT)

원시 피타고라스 세 수는 공약수를 가지지 않고,

를 만족하는 세 자연수 a, b, c이다.

 

예시)

3, 4, 5

5, 12, 13

8, 15, 17

7, 24, 25

20, 21, 29

...

 

a와 b중 하나는 짝수, 하나는 홀수이다. 또한, c는 항상 홀수인 것 같다.

이를 증명해보자.

 

증명)

a와 b가 모두 짝수라고 하면, c도 짝수이다.

세 수 모두 짝수이면, 공약수가 2가 되므로 모두 짝수가 될 수 없다.

 

a와 b가 모두 홀수라고 하면, c는 짝수이다.

즉, 어떤 홀수는 어떤 짝수와 같아야 한다는 뜻이므로 거짓이다.

따라서, a와 b둘 중 하나는 홀수, 하나는 짝수이다.

 

그렇다면, 원시 피타고라스 세 수를 찾는 문제는 다음과 같다:

이고, a는 짝수, b는 홀수, a,b,c는 서로소이다.(단, a, b의 자리를 바꿀 수 있다.)

 

(a, b, c)가 원시 피타고라스 세 수라면,

이다. (a를 홀수로 했을때)

3^2 = 5^2 - 4^2 = (5-4) * (5+4) = 1 * 9

15^2 = 17&2 - 8^2 = (17-8)(17+8) = 9 * 25

...

 

c-b와 c+b가 제곱수처럼 보인다.

아래 증명을 통해 확인해보자.

증명)

c-b와 c+b는 서로소이다.

    공약수 d가 있다고 해보자.

    c-b, c+b의 합과 차 2c와 2b는 d로 나누어진다.

    d는 2b와 2c의 공약수이다.

    하지만 (a, b, c)는 PPT이므로 b, c는 공약수가 없다.

    d = 1 or 2인데, (c-b)(b+c) = a^2의 약수여야 한다.

    a는 홀수이므로 d=1이다.

    따라서, c-b와 c+b는 공약수가 없다.

(c-b)(c+b)=a^2이므로 제곱수이고, c-b와 c+b는 공약수가 없는 양의 정수이다.

 

 

피타고라스 세 수 정리

(s > t >= 1)로 표현할 수 있다.

1보다 크고 서로소인 두 개의 홀수 s > t가 주어진다면 a가 홀수이고 b가 짝수인 원시 피타고라스 세 수를 얻을 수 있다.