넘치게 채우기

외적의 정의 u x v = (||u||||v||sinΘ)e인 벡터이다. Θ는 두 벡터 사이의 각이고, 벡터 e는 오른손 법칙에 따라 방향을 가지는 u와 v에 대해 생성된 평면과 수직인 단위벡터이다. 외적은 다양한 물리량에 쓰일 수 있다.(면적, 체적, 운동량, 토크 등) u x v의 크기 ||u x v|| = ||u||||v||sinΘ이다. 이 크기는 u와 v가 이루는 평행사변형의 면적과 같다. 벡터 u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2,v3), 또는 두 벡터 u = u1i + u2j + u3k, v = v1i + v2j, v3k가 R3상의 벡터들인 경우, u와 v의 외적 u x v는 다음과 같이 정의된다: 외적의 성질 R3상의 벡터 u, v, w와 스칼라 a에 대하여 다음과 같은 외적의..

벡터공간과 선형독립 스칼라를 실수전체로 택할 때, U를 실수 R위의 벡터공간 또는 실벡터공간(real vector space)이라고 한다. 스칼라를 복소수 전체로 택할 때, U를 복소수 C위의 벡터공간 또는 복소벡터공간(complex vector space)이라고 한다. 벡터공간과 부분공간 V가 벡터의 합과 스랄라 곱의 연산이 정의되는 공집합이 아닌 벡터들로 이루어진 집합이고, V안의 모든 벡터들이 덧셈에 대해 닫혀있고, 곱셈에 대해 닫혀있고, 덧셈의 {교환법칙, 결합법칙, 역원, 영벡터}, 스칼라곱의 {배분, 결합, 항등원}의 법칙이 해당하면 V는 벡터공간(vector space)라고 한다. 이 실수 R 위의 벡터공간인지 확인해보자: 모든 벡터가 영벡터인 벡터공간을 영벡터공간(zero vector sp..

역행렬 역행렬이란, 스칼라 값에서 곱셈에 대한 역원과 유사한 개념으로, 선형방정식의 풀이에서 중요한 역할을 한다. 행렬 A, B가 있고 모두 n x n행렬일 때, AB = BA = I인 행렬 B가 존재하면, A를 가역적(invertible)이라고 한다. 이 경우의 B는 A의 역행렬(inverse matrix)라고 하고, A-1로 나타내는데, AA-1=A-1A=I가 항상 성립한다. 가역적인 행렬, 즉 역행렬이 존재하는 행렬을 정칙행렬(nonsingular matrix)라고하고. 그렇지 않은 행렬을 특이행렬(singular matrix)라고 한다. 역행렬의 성질) (A-1)-1 = A (AB)-1=B-1A-1 역행렬을 구하는 방법 역행렬을 구하는 방법은 3가지가 있다: 한 행렬을 변수로 놓고 곱을 구해서 항..

행렬식 행렬식(Determinant)이란 정방행렬 A에서 하나의 스칼라 값을 대응시키는 함수로써, Det(A) 또는 |A|로 표시한다. n차 정방행렬의 행렬식을 n차 행렬식이라고도 부른다. 즉, A를 n x n행렬이라고 할 때 행렬 A에 대해 A의 행렬식이라는 수가 대응된다. 기호로는 행렬 A의 괄호 대신 수직 막대선을 그어서 나타낸다. 행렬식을 구하는 두 가지 방법 사루스의 공식 주 대각선 방향으로 원소들을 곱한 값을을 더한 값에 주 대각선 반대 방향으로 원소들을 곱한 값들의 덧셈의 역원을 더한다고 생각하면 편리하다. 아래는 2*2의 크기와 3*3의 크기의 예시이다. 여인수에 의한 계산 사루스의 공식을 통해서 나온 3 x 3의 행렬식은 아래와 같이 인수분해될 수 있다: 이는 행렬식에서 a11, a12,..

특수한 형태의 행렬들과, 기본 행 연산에 대하여 알아보자. 특수한 행렬 대각행렬 n x n 정방행렬에서 대각선을 제외한 모든 항들이 0인 행렬 D를 대각행렬(diagonal matrix)라고 한다. 대각항과 대각합 정방행렬 A의 주대각선 위의 모든 성분들을 대각항이라고 하고, 각 대각항의 합을 대각합(trace)라고 한다. tr(A) 또는 trace(A)로 표기한다. 행렬의 행과 열 번호가 같은 성분들의 합이다. 정방행렬 A와 B의 크기가 같을 때, 다음의 특성들을 가진다. tr(AT) = tr(A) tr(cA) = ctr(A) tr(A+B) = tr(A) + tr(B) tr(A-B) = tr(A) - tr(B) tr(AB) = tr(BA) 항등행렬과 영행렬 대각행렬이면서 대각선의 항들이 모두 1인 n ..

행렬은 수 또는 문자를 행과 열에 맞추어 구성한 직사각형 배열이다. m x n행렬 또는 (m, n)행렬이라고 부른다. 이 행렬은 m개의 행(row)와 n개의 열(column)을 가진다. aij를 ij-항이라고 한다. i번째 행과 j번째 열이 만나는 항의 값이다. 행렬의 각 행은 가로의 n순서쌍으로, 각 열은 세로의 m순서쌍으로 볼 수 있다. 가로의 n 순서쌍을 행벡터(row vector), 세로의 m 순서쌍을 열벡터(column vector)라고 한다. 정방행렬 행렬의 행의 개수와 열의 개수가 모두 같은 경우, m=n인 경우가 있는데, 이를 정방행렬(square matrix)라고 한다. n개의 행과 n개의 열을 가지는 행렬을 n차 정방행렬(square matrix of order n)이라고 한다. 행렬의..

선형시스템의 해를 구하는 한 방법은 소거법(method of elimination)이다. 소거법은 원래의 시스템과 동치인 해를 더 쉽게 구할 수 있는 식으로 변형하는 것이다. ⭐️선형시스템에서는 3가지의 행 연산으로 원래의 식과 동치인 선형방정식으로 변환할 수 있다. 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱하기 방정식들의 위치를 서로 교환 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱하여 다른 방정식에 더하기 선형시스템의 3가지 해의 경우를 보면서 해를 구해보도록 하자. 1. 해가 하나인 경우 x1 - 3x2 = -3 2x1 + x2 = 8 첫 번째 식에 -2를 곱하여 두 번째 식에 더하여 x1이 없는 방정식을 구할 수 있다. x2 = 2가 나오고, 첫 번째 식에 대입하면 x1 = 3이란 해를 얻을 수 있다. 이는 유일한 ..