[BOJ] 2098 - 외판원 순회

https://www.acmicpc.net/problem/2098

BOJ - 외판원 순회

문제 유형: TSP(외판원 순회), 비트마스킹, 다이나믹 프로그래밍, dfs

문제 난이도: Gold I

시간 제한: 1초

메모리 제한: 128MB

 

문제

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

첫째 줄에 도시의 수 N이 주어진다. (2 ≤ N ≤ 16) 다음 N개의 줄에는 비용 행렬이 주어진다. 각 행렬의 성분은 1,000,000 이하의 양의 정수이며, 갈 수 없는 경우는 0이 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 j로 가기 위한 비용을 나타낸다.

항상 순회할 수 있는 경우만 입력으로 주어진다.

 

출력

첫째 줄에 외판원의 순회에 필요한 최소 비용을 출력한다.

 

풀이

외판원 순회는 웰-노운의 문제이다.

dp[state][last] = 현재 state에서 last부터 시작한 최소 비용을 저장하는 식으로 한다. state는 방문여부를 비트로 나타낸 것이다. i번째가 방문했는지에 대한 여부가 (1 << i)에 있다. last는 마지막 방문 노드를 의미한다.

 

state = 1, last = 0인 채로 시작한다. 0번부터 시작해서, 1 << 0 을 방문처리 한 것이다.

만약 state가 (1 << n)-1이라면, 모든 비트가 1이란 뜻으로, 모두 방문했다는 의미이다. 이제 마지막 방문지에서 처음 지점인 0으로 돌아가기만 하면 된다.

adj[last][0]이 0이 아니라면 그 값을 반환하고, 아니라면 매우 큰 값을 반환한다.

만약 dp[state][last]가 -1이 아닌 값이 있다면, 방문한 적 있다는 뜻으로 리턴하면 된다.

그게 아니라면, 다음 지점을 순회해야 한다.

0부터 n-1까지 체크하면서, 비트마스킹을 통해서 방문한적 없음이 확인된다면 last로 i를, state를 or로 마스킹한 상태로 재귀호출한다.

재귀호출된 값(solve(i, state | (1 << i)) + adj[last][i])들의 최소값을 구해서 dp에 저장해서 리턴해주면 된다.

 

 

 

 

 

코드

C++

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n;
int adj[16][16];
int dp[(1 << 16)][16];

int solve(int last, int state) {
  if (state == (1 << n) - 1)
    return adj[last][0] == 0 ? 1e9 : adj[last][0];

  if (dp[state][last] != -1)
    return dp[state][last];

  int res = 1e9;
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    if (!(state & (1 << i)) && adj[last][i] != 0) {
      res = min(res, solve(i, state | (1 << i)) + adj[last][i]);
    }
  }

  return dp[state][last] = res;
}

int main(int argc, char *argv[]) {
  ios_base::sync_with_stdio(0);
  cin.tie(0);
  memset(dp, -1, sizeof(dp));

  cin >> n;
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
      cin >> adj[i][j];
    }
  }

  cout << solve(0, 1) << "\n";

  return 0;
}

 

Go

package main

import (
	"bufio"
	"fmt"
	"os"
)

var n int32
var adj [][]int32
var dp [][]int32

func solve(last, state int32) int32 {
	if state == (1<<n)-1 {
		if adj[last][0] == 0 {
			return int32(1e9)
		}
		return adj[last][0]
	}

	if dp[state][last] != -1 {
		return dp[state][last]
	}

	res := int32(1e9)
	var i int32

	for i = 0; i < n; i++ {
		if state&(1<<i) == 0 && adj[last][i] != 0 {
			rres := solve(i, state|(1<<i)) + adj[last][i]
			if rres < res {
				res = rres
			}
		}
	}

	dp[state][last] = res
	return dp[state][last]
}

func main() {
	reader := bufio.NewReader(os.Stdin)
	writer := bufio.NewWriter(os.Stdout)
	defer writer.Flush()

	fmt.Fscan(reader, &n)
	adj = make([][]int32, n)
	dp = make([][]int32, (1 << n))

	var i int32
	var j int32

	for i = 0; i < n; i++ {
		adj[i] = make([]int32, n)
	}

	for i = 0; i < (1 << n); i++ {
		dp[i] = make([]int32, n)
		for j = 0; j < n; j++ {
			dp[i][j] = -1
		}
	}

	for i = 0; i < n; i++ {
		for j = 0; j < n; j++ {
			fmt.Fscan(reader, &adj[i][j])
		}
	}

	fmt.Fprintln(writer, solve(0, 1))
}