[BOJ] 11444 - 피보나치 수 6

https://www.acmicpc.net/problem/11444

BOJ - 피보나치 수 6

문제 유형: 피보나치 수, 분할 정복

문제 난이도: Gold II

시간 제한: 1초

메모리 제한: 256MB

 

문제

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

 

출력

첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.

 

풀이

 

 

피보나치 행렬의 점화식을 행렬 곱셈으로 표현하고, 정리하면, [[1, 1], [1, 0]]^n-1꼴로 정리된다고 한다.

행렬의 거듭제곱은 log(n)으로 구할 수 있으니, 큰 N에 대해서 빠르게 구할 수 있게 되었다.

 

코드

C++

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MOD 1000000007
using namespace std;

ll input;

vector<vector<ll>> multiply(vector<vector<ll>> &a, vector<vector<ll>> &b) {
  vector<vector<ll>> res = {{0, 0}, {0, 0}};

  for (int i = 0; i < 2; ++i) {
    for (int j = 0; j < 2; ++j) {
      for (int k = 0; k < 2; ++k) {
        res[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
        res[i][j] %= MOD;
      }
    }
  }
  return res;
}

vector<vector<ll>> matPow(vector<vector<ll>> &base, ll n) {
  vector<vector<ll>> res = {{1, 0}, {0, 1}};

  while (n > 0) {
    if (n % 2 == 1) {
      res = multiply(res, base);
    }
    base = multiply(base, base);
    n /= 2;
  }

  return res;
}

ll fibo(ll n) {
  if (n == 0)
    return 0;
  if (n == 1)
    return 1;

  vector<vector<ll>> base = {{1, 1}, {1, 0}};

  auto res = matPow(base, n - 1);

  return res[0][0];
}

int main(int argc, char *argv[]) {
  cin >> input;

  ll ans = fibo(input);
  cout << ans << "\n";
  return 0;
}