넘치게 채우기

마호니언 숫자의 삼각형(또는 마호니언 삼각형)의 수들은 ∏(𝑖=0..𝑛−1)(1+𝑥+...+𝑥𝑖)를 전개했을 때의 각 계수이다. 코시 곱에 의해서 1부터 n까지의 순열에서 K번의 역전이 일어난 순열의 개수임이 증명된다. k는 해당하는 순열을 increasing order로 만들기 위한 버블정렬의 스왑 횟수와도 같다. 삼각형은 좌우대칭의 형태를 가진다. 순열의 무질서도와 정규 분포에도 관련이 있다. 공식 T(n, k)를 1부터 n까지의 순열에서 K번의 역전이 일어난 순열의 개수라고 하였을 때, 다음이 성립한다. T(1, 0) = 1, T(n, k) = 0 for n n*(n-1)/2. T(n, k) = Sum_{j=0..n-1} T(n-1, k-j) 정리하면, T(n, k)..

선형변환의 정의 V와 W가 벡터공간이고, u, v가 V에 속하며 a가 실수인 경우, V로부터 W로가는 함수 L이 아래 2가지를 만족할 때, 선형변환(linear transformation)또는 선형사상(linear mapping)이라고 한다. L: V->W L(u+v) = L(u) + L(v) L(au) = aL(u) 특히 V = W일 경우에는 선형변환 L을 V상에서의 선형연산자(linear operator)라고 한다. L(x) = 2x는 선형변환인가? L(x+y) = 3(x+y) =3x+3y =L(x)+L(y) L(ax) = 3(ax) =a(3x) =aL(x) 선형변환이다. 함수와 선형변환 집합 X에서 집합 Y로의 관계의 부분집합으로써, 집합 X의 모든 원소 x가 집합 Y에 있는 원소 중 한 개와 관계..

외적의 정의 u x v = (||u||||v||sinΘ)e인 벡터이다. Θ는 두 벡터 사이의 각이고, 벡터 e는 오른손 법칙에 따라 방향을 가지는 u와 v에 대해 생성된 평면과 수직인 단위벡터이다. 외적은 다양한 물리량에 쓰일 수 있다.(면적, 체적, 운동량, 토크 등) u x v의 크기 ||u x v|| = ||u||||v||sinΘ이다. 이 크기는 u와 v가 이루는 평행사변형의 면적과 같다. 벡터 u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2,v3), 또는 두 벡터 u = u1i + u2j + u3k, v = v1i + v2j, v3k가 R3상의 벡터들인 경우, u와 v의 외적 u x v는 다음과 같이 정의된다: 외적의 성질 R3상의 벡터 u, v, w와 스칼라 a에 대하여 다음과 같은 외적의..

내적의 정의 u, v가 Rn상의 벡터라고 할 때, Rn상의 내적(inner product, dot product)은 다음과 같은 스칼라 값으로 나타내고, u·v로 나타낸다. 이는 각 대응하는 요소들의 곱의 합이다. 내적이 음수면 두 벡터가 반대방향임을, 0이면 직교함을 의미한다. 내적을 통해 인공지능에서의 신경망에서의 입력과 연결강도와의 곱을 효율적으로 수행할 수 있다. 두 벡터 사이의 거리 구하기 벡터의 노름은 , 두 벡터 u-v의 거리는 이다. u = (1, 2, 3), v = (-4, 3, 5)의 거리는? 두 벡터 u,v가 이루는 각을 Θ라고 할 때, u와 v의 내적은 다음과 같다: u = 0 또는 v = 0인경우, u·v = 0 u != 0 이고 v != 0 인 경우, u·v = ||u||||v|..

생성 벡터공간 V의 모든 벡터들을 V상의 벡터 v1+v2+..+vn의 선형결합으로 나타낼 수 있을 경우, 벡터 v1,v2,...,vn이 벡터 공간 v를 생성(span)한다고 한다. 즉, 모든 V의 벡터 v에 대하여 a1v1 + a2v2 + ... + anvn = V가 되는 스칼라 a1, a2, ..., an이 존재한 경우를 말한다. 벡터 가 벡터공간 R2를 생성하는가? 벡터 가 벡터공간 R3을 생성하는가? 기저 벡터공간 V에 있는 벡터 v1,v2,...,vn이 다음의 두 가지 조건을 동시에 만족하면, V에 대한 기저(basis)를 형성한다고 말한다. v1,v2,...,vn이 선형독립 v1,v2,...,vn이 V를 생성 R2상의 두 벡터 는 기저가 되는가? V=R3이라 할 때, R3에 대한 기저 (1,0,..

벡터공간과 선형독립 스칼라를 실수전체로 택할 때, U를 실수 R위의 벡터공간 또는 실벡터공간(real vector space)이라고 한다. 스칼라를 복소수 전체로 택할 때, U를 복소수 C위의 벡터공간 또는 복소벡터공간(complex vector space)이라고 한다. 벡터공간과 부분공간 V가 벡터의 합과 스랄라 곱의 연산이 정의되는 공집합이 아닌 벡터들로 이루어진 집합이고, V안의 모든 벡터들이 덧셈에 대해 닫혀있고, 곱셈에 대해 닫혀있고, 덧셈의 {교환법칙, 결합법칙, 역원, 영벡터}, 스칼라곱의 {배분, 결합, 항등원}의 법칙이 해당하면 V는 벡터공간(vector space)라고 한다. 이 실수 R 위의 벡터공간인지 확인해보자: 모든 벡터가 영벡터인 벡터공간을 영벡터공간(zero vector sp..

스칼라 값: 물리적 양의 크기를 말한다.(질량, 속력, 압력 등) 벡터: 크기 뿐만 아니라 방향까지 가진다. 벡터의 개념과 표기 벡터는 크기 이외에도 방향의 정보를 가지는 물리량이다. 1. 화살표를 이용한 벡터 표현 시점(initial point, tail)은 화살표의 시작점을 말한다. 끝점(terminal point, head)는 화살표의 끝점을 말한다. 시점 P와 Q가 있을 때, P에서 Q까지 방향을 가진 선분을 유향선분(directed segment)라고 한다. 모든 벡터는 유향선분으로 나타낼 수 있고, 역도 성립한다. 두 벡터 와 RS가 똑같은 크기와 방향을 가지면, 두 벡터가 어디에 위치에 있든 서로 동치(equivalent)한다고 한다. 2. 좌표(Coordinate)에 의한 표기법 벡터는 좌..

역행렬 역행렬이란, 스칼라 값에서 곱셈에 대한 역원과 유사한 개념으로, 선형방정식의 풀이에서 중요한 역할을 한다. 행렬 A, B가 있고 모두 n x n행렬일 때, AB = BA = I인 행렬 B가 존재하면, A를 가역적(invertible)이라고 한다. 이 경우의 B는 A의 역행렬(inverse matrix)라고 하고, A-1로 나타내는데, AA-1=A-1A=I가 항상 성립한다. 가역적인 행렬, 즉 역행렬이 존재하는 행렬을 정칙행렬(nonsingular matrix)라고하고. 그렇지 않은 행렬을 특이행렬(singular matrix)라고 한다. 역행렬의 성질) (A-1)-1 = A (AB)-1=B-1A-1 역행렬을 구하는 방법 역행렬을 구하는 방법은 3가지가 있다: 한 행렬을 변수로 놓고 곱을 구해서 항..

행렬식 행렬식(Determinant)이란 정방행렬 A에서 하나의 스칼라 값을 대응시키는 함수로써, Det(A) 또는 |A|로 표시한다. n차 정방행렬의 행렬식을 n차 행렬식이라고도 부른다. 즉, A를 n x n행렬이라고 할 때 행렬 A에 대해 A의 행렬식이라는 수가 대응된다. 기호로는 행렬 A의 괄호 대신 수직 막대선을 그어서 나타낸다. 행렬식을 구하는 두 가지 방법 사루스의 공식 주 대각선 방향으로 원소들을 곱한 값을을 더한 값에 주 대각선 반대 방향으로 원소들을 곱한 값들의 덧셈의 역원을 더한다고 생각하면 편리하다. 아래는 2*2의 크기와 3*3의 크기의 예시이다. 여인수에 의한 계산 사루스의 공식을 통해서 나온 3 x 3의 행렬식은 아래와 같이 인수분해될 수 있다: 이는 행렬식에서 a11, a12,..

특수한 형태의 행렬들과, 기본 행 연산에 대하여 알아보자. 특수한 행렬 대각행렬 n x n 정방행렬에서 대각선을 제외한 모든 항들이 0인 행렬 D를 대각행렬(diagonal matrix)라고 한다. 대각항과 대각합 정방행렬 A의 주대각선 위의 모든 성분들을 대각항이라고 하고, 각 대각항의 합을 대각합(trace)라고 한다. tr(A) 또는 trace(A)로 표기한다. 행렬의 행과 열 번호가 같은 성분들의 합이다. 정방행렬 A와 B의 크기가 같을 때, 다음의 특성들을 가진다. tr(AT) = tr(A) tr(cA) = ctr(A) tr(A+B) = tr(A) + tr(B) tr(A-B) = tr(A) - tr(B) tr(AB) = tr(BA) 항등행렬과 영행렬 대각행렬이면서 대각선의 항들이 모두 1인 n ..