[BOJ] 11660 - 구간 합 구하기 5

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BOJ - 구간 합 구하기 5

문제 유형: 행렬, 다이나믹 프로그래밍, 부분합

문제 난이도: Silver I

시간 제한: 1초

메모리 제한: 256MB

 

문제

N×N개의 수가 N×N 크기의 표에 채워져 있다. (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구하는 프로그램을 작성하시오. (x, y)는 x행 y열을 의미한다.

예를 들어, N = 4이고, 표가 아래와 같이 채워져 있는 경우를 살펴보자.

1	2	3	4
2	3	4	5
3	4	5	6
4	5	6	7

여기서 (2, 2)부터 (3, 4)까지 합을 구하면 3+4+5+4+5+6 = 27이고, (4, 4)부터 (4, 4)까지 합을 구하면 7이다.

표에 채워져 있는 수와 합을 구하는 연산이 주어졌을 때, 이를 처리하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

첫째 줄에 표의 크기 N과 합을 구해야 하는 횟수 M이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1024, 1 ≤ M ≤ 100,000) 둘째 줄부터 N개의 줄에는 표에 채워져 있는 수가 1행부터 차례대로 주어진다. 다음 M개의 줄에는 네 개의 정수 x1, y1, x2, y2 가 주어지며, (x1, y1)부터 (x2, y2)의 합을 구해 출력해야 한다. 표에 채워져 있는 수는 1,000보다 작거나 같은 자연수이다. (x1 ≤ x2, y1 ≤ y2)

 

출력

총 M줄에 걸쳐 (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구해 출력한다.

 

풀이

0-indexed기준으로 설명할 것이다.

prefixSum[i][j] = (0, 0)부터 (i,j)까지의 누적합으로 저장해둔다.

처음에 행렬을 받고 나서, 0행과 0열들에 대해 부분합을 쌓아두고, 

1행1열부터 순차적으로, prefixSum[i][j] = prefixSum[i-1][j] + prefixSum[i][j-1] - prefixSum[i-1][j-1] + prefixSum[i][j]이다.

 

빨간색부분은의 합은 두 파란색 부분의 합에다가 금색부분을 뺴고, 초록부분을 합친 것이라고 보면 된다.

 

그리고, 나중에는 이 누적합으로 빠르게 범위를 입력받았을 때의 값을 구할 수 있다.

구간 합을 구하는 걸 봐보자. 빨간색 테두리 부분의 구간합을 구하려면, 파란색 부분에서 노란색 부분 두 개를 빼고, 연두색 부분을 합하면 된다.

식으로 나타내면, 다음과 같다:

prefixSum[x2][y2] - prefixSum[x1-1][y2] - prefixSum[x2][y1-1] + prefixSum[x1-1][y1-1];

단, x1-1, y1-1이 각각 0 이상인 경우에만 유효하다.

 

이 값을 매번 출력해주면 된다.

 

 

코드

C++

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long

using namespace std;

int n, m;
ll prefixSum[1025][1025];

ll query(int x1, int y1, int x2, int y2) {
  ll res = prefixSum[x2][y2];
  if (x1 > 0) {
    res -= prefixSum[x1 - 1][y2];
  }
  if (y1 > 0) {
    res -= prefixSum[x2][y1 - 1];
  }
  if (x1 > 0 && y1 > 0) {
    res += prefixSum[x1 - 1][y1 - 1];
  }

  return res;
}

int main(int argc, char *argv[]) {
  ios_base::sync_with_stdio(0);
  cin.tie(0);
  cout.tie(0);
  cin >> n >> m;

  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
      cin >> prefixSum[i][j];
    }
  }

  for (int i = 1; i < n; ++i) {
    prefixSum[i][0] += prefixSum[i - 1][0];
    prefixSum[0][i] += prefixSum[0][i - 1];
  }
  for (int i = 1; i < n; ++i) {
    for (int j = 1; j < n; ++j) {
      prefixSum[i][j] = prefixSum[i - 1][j] + prefixSum[i][j - 1] -
                        prefixSum[i - 1][j - 1] + prefixSum[i][j];
    }
  }

  int x1, y1, x2, y2;
  for (int i = 0; i < m; ++i) {
    cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
    cout << query(x1 - 1, y1 - 1, x2 - 1, y2 - 1) << "\n";
  }

  return 0;
}