[프로그래머스] 3 x n 타일링

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프로그래머스

프로그래머스 - 3 x n 타일링

문제 유형 : 다이나믹 프로그래밍

문제 난이도 : Level 2

 

문제 설명

가로 길이가 2이고 세로의 길이가 1인 직사각형 모양의 타일이 있습니다. 이 직사각형 타일을 이용하여 세로의 길이가 3이고 가로의 길이가 n인 바닥을 가득 채우려고 합니다. 타일을 채울 때는 다음과 같이 2가지 방법이 있습니다

• 타일을 가로로 배치 하는 경우
• 타일을 세로로 배치 하는 경우

예를들어서 n이 8인 직사각형은 다음과 같이 채울 수 있습니다.

직사각형의 가로의 길이 n이 매개변수로 주어질 때, 이 직사각형을 채우는 방법의 수를 return 하는 solution 함수를 완성해주세요.

제한사항

• 가로의 길이 n은 5,000이하의 자연수 입니다.
• 경우의 수가 많아 질 수 있으므로, 경우의 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 return해주세요.

 

풀이

점화식부터 공개하자면, dp[i] = dp[i-2] * 3 + dp[i-4] * 2 + dp[i-6] * 2 + ... + dp[2] * 2 + 2입니다.

 

우선, 가로 너비가 홀수인 경우는 없습니다. 2 * 1의 크기 타일로는 만들 수 없는 면적이 나옵니다.

 

 

 

 

위 그림의 아랫부분을 보시면, 너비가 2씩 넓어질 때 마다, 일반적이지 않은 패턴들이 나오기 시작합니다. 위아래를 뒤집어서 두 가지의 경우가 있습니다.

이것이 새로 나올때마다 나오는 케이스입니다.

 

다른 경우들은, n=6인경우, n=4의 경우에 n=2짜리를 붙이는 경우의 수를 구하는 경우가 있을 겁니다. 이 경우는 3가지입니다.

또, n=8일때, n=6에다가 n=2를 붙이는 경우의 수도 있겠지만, n=4와 n=4를 붙이는 경우가 있겠습니다.

 

그렇게 점화식을

 

dp[i] = dp[i-2] * 3(이전의 경우의 수에 n=2짜리를 붙이는 경우), dp[i-4] * 2 + ... + (x짜리 길이와 n-x짜리 길이의 모양을 조합하는 경우) + dp[0](새로 나올때마다 나오는 케이스)로 지을 수 있습니다.

 

코드

C++

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MOD = 1e9+7;

int solution(int n) {
    vector<long long> dp(n+1);
    dp[0] = 1;
    dp[2] = 3;
    dp[4] = 11;
    for(int i = 6; i <= n; i+=2) {
        dp[i] += (dp[i-2] * 3)%MOD;
        for(int j = i-4; j >= 0; j-=2) {
            dp[i] += (dp[j] * 2)%MOD;
        }
    }
    
    return dp[n]%MOD;
}